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2 분 소요

1. 문제

[Silver III] 피보나치 함수 - 1003

문제 링크

성능 요약

메모리: 30840 KB, 시간: 80 ms

분류

다이나믹 프로그래밍(dp)

문제 설명

다음 소스는 N번째 피보나치 수를 구하는 C++ 함수이다.

int fibonacci(int n) {
    if (n == 0) {
        printf("0");
        return 0;
    } else if (n == 1) {
        printf("1");
        return 1;
    } else {
        return fibonacci(n‐1) + fibonacci(n‐2);
    }
}

fibonacci(3)을 호출하면 다음과 같은 일이 일어난다.

  • fibonacci(3)은 fibonacci(2)와 fibonacci(1) (첫 번째 호출)을 호출한다.
  • fibonacci(2)는 fibonacci(1) (두 번째 호출)과 fibonacci(0)을 호출한다.
  • 두 번째 호출한 fibonacci(1)은 1을 출력하고 1을 리턴한다.
  • fibonacci(0)은 0을 출력하고, 0을 리턴한다.
  • fibonacci(2)는 fibonacci(1)과 fibonacci(0)의 결과를 얻고, 1을 리턴한다.
  • 첫 번째 호출한 fibonacci(1)은 1을 출력하고, 1을 리턴한다.
  • fibonacci(3)은 fibonacci(2)와 fibonacci(1)의 결과를 얻고, 2를 리턴한다.

1은 2번 출력되고, 0은 1번 출력된다. N이 주어졌을 때, fibonacci(N)을 호출했을 때, 0과 1이 각각 몇 번 출력되는지 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다.

각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, N이 주어진다. N은 40보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력

각 테스트 케이스마다 0이 출력되는 횟수와 1이 출력되는 횟수를 공백으로 구분해서 출력한다.

출처: 백준, https://https://www.acmicpc.net/

2. 해결방법 시간복잡도

  1. DP 탑다운 O(N^2)

3. 문제 해결 및 코드

  • 주석을 참고하면서 이해를 돕습니다.

4. 알고리즘 및 해설

  • 해당 문제에 사용된 피보나치 수열 재귀문과 메모이제이션이 궁금하다면 5번으로 이동해주세요.
  1. 해당 문제의 경우 DP의 탑다운 방식을 사용했으며 메모이제이션 재귀문을 통해 해결했다.
    • N번째 피보나치 수를 구하는 문제로 메모이제이션 함수를 선언하여 해당 N값을 계속해서 fib()라는 재귀문에 입력해준다.
    • 이후 해당 메모이제이션 값이 1, 0이 되면 다시 메모이제이션 함수를 선언해준다.
    • N이 1인 경우에는 메모이제이션 값이 0, 1이 되고 다시 선언해준다.
    • N이 메모이제이션 존재하는 경우 다시 메모이제이션 함수를 선언해준다.
  2. 위의 경우의 수를 계속해서 선언해주는 방식으로 최종적으로 피보나치 수를 출력해준다.

5. 피보나치 수열과 재귀 함수, 메모이제이션에 대해

1. 피보나치 수열

수학 개념으로 피보나치 수는 첫째 또는 둘쨰 항이 1이고 그 뒤의 모든 항은 바로 앞 두 항의 합인 수열을 말한다.

  1. 0번째 항부터 시작하는 경우 F(0) = 0 F(1) = 1 F(2) = F(1) + F(0) = 2 F(n) = F(n-1) + F(n-2)

  2. 1번째 항부터 시작하는 경우 F(1) = F(2) = 1 F(n) = F(n-1) + F(n-2)

  • 피보나치 수열 재귀문 
      def fib(n):
      if n == 1:
          return 1
      if n == 2:
          return 1
      else:
          return fib(n-1) + fib(n-2)
    • 재귀함수로 자기 자신을 재귀호출하는 함수이다. 수학의 점화식과 비슷한 형태로 코드를 작성할 수 있어 가독성이 높으나 연산 효율이 낮아서 메모리관점에서 그닥 좋지않은 방식이다.
    • 이는 반복문과 같은 걸로 피보나치 수가 높아질수록 연산 효율이 급격하게 떨어진다는 단점을 지니고 있다.
  • 피보나치 수열 재귀 함수 + 메모이제이션 
      def fib(N, mem): 
  if N == 0:
      mem[N] = [1, 0]
      return mem[N]
  elif N == 1:
      mem[N] = [0, 1]
      return mem[N]
  if N in mem:
      return mem[N]
  else:
      a = fib(N -1, mem)[0] + fib(N -2, mem)[0]
      b = fib(N -1, mem)[1] + fib(N -2, mem)[1]
      mem[N] = [a,b]
      return mem[N]

  def memo(N): # 메모리제이션 함수 선언
      mem = {}
      return fib(N, mem)
    • 메모이제이션 말 그대로 메모하는 형식으로 이미 계산한 값은 더 이상 연산하지 않아 불필요한 연산을 제거하여 연산을 효율적으로 한다는 강점을 지니는 방법이다.
    • 재귀 함수형태로 만들어져 가독성또한 높은 코드 작성 기법이다.

참고